制图：沈亦伶
数学是一个极富魅力的世界。在人类认识自然、追求美好生活的过程中，数学发挥着重要作用。虽然不懂数学也能过得很愉快，但具备一定的数学素养，能帮助我们更好地认识世界、理解世界、欣赏世界。
数学，古老又年轻。在信息时代，数学的重要性与日俱增，展现出前所未有的活力。推动数学发展的，既有大量未解决的旧问题，也有社会科技发展涌现的新问题，从事数学研究和应用的人数也在不断增加。
数学的内涵是什么
数学研究量与形，量与形是物质的基本属性，这决定了数学的价值和意义。经过几千年的发展，数学已经成为一个庞大的学科，通常分为基础数学（即纯数学）和应用数学两大部分。基础数学又大致可分为代数（含数论）、几何（含拓扑）、分析数学（以微积分为基础）等。
毫无疑问，数的起源是计数，也就是数物品。开始时，人们对数的观念与具体事物联系在一起，比如一棵树、一块石头、两个人、两条鱼等。逐渐地，人们发现一棵树、一块石头等具体事物共同的数字属性，数的抽象概念就这样形成了。
产生数的方式是无穷无尽的，量的比值是数，面积是数，体积是数，温度是数，时间是数……今天我们能强烈感受到数字化的影响，其实数字化很久以前就有了，如门牌号、车牌号、车次等。数字化的本质是编码，赋予数字以含义。例如一幅照片的数字化就是把照片分成很多小方块，每一个小方块看作一点，用三个数字表示其红绿蓝的成分。所谓像素就是这样的小方块的个数，像素越高，表明数字化做得越精细。重要的是，数字可以运算，经过数字化后，照片也就可以通过数学的手段进行变化了。
数，有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。研究数的分支是数论，这一领域一直很活跃，近年来取得巨大进展，包括费马大定理的证明、孪生素数猜想的突破、朗兰兹纲领的进展等。素数是数论研究的一个永恒主题，其神秘的结构和规律始终挑战着人类的智力。
形是数学分支几何关注的对象。这个世界充满了各种各样的形，蓝天、白云、青山、流水、高楼、动物、植物有各自的形，它们都富有美感、令人愉悦。公元前300多年，希腊人欧几里得采用公理化体系，系统整理了古希腊人的数学成就，写成了《几何原本》。在以后2000多年的历史中，它都是一部标准的教科书。一直到19世纪，人们都相信这种几何准确描述了我们这个世界。但是，非欧几何的出现让人们知道几何原来可以有很多种。这立即带来一个问题，哪一种几何能正确描述我们这个世界的空间呢？广义相对论说我们生活的空间是弯曲的，需要用黎曼几何描述，弦论则认为我们的时空是十维的。
现实空间远比欧几里得几何中的空间复杂。当把几何理解为一种结构，就摆脱了几何是现实空间的抽象这个限制，几何的内涵会变得异常丰富和辽阔。很多对象都出人意料地有非常好的几何结构，如一个空间所有过原点的直线全体的几何结构就是射影空间。
现实世界日新月异，充满变化。微积分就是研究变化的数学，基本概念有极限、微分和积分。微积分及在其基础上发展起来的分析数学，成为认识和探索世界奥秘最有力的数学工具之一，为数学带来全面的大发展。
求解方程一直强有力地推动数学的发展。刚开始是多项式方程，在探究多项式方程的过程中，代数数论、代数、代数几何等分支产生了。微积分出现后，微分方程也就自然出现了。求解微分方程在数学中非常重要，因为大自然的很多奥秘是通过微分方程呈现的，著名的有描写流体运动的纳维—斯托克斯方程、描写电磁运动的麦克斯韦方程、广义相对论中的爱因斯坦场方程、量子力学中的薛定谔方程等。
应用数学和数学与其他学科的交叉
应用数学是数学的重要组成部分。在20世纪以前，虽然很多数学工作与实际应用密切相关，但应用数学这个名称用得很少，并没有形成特别有影响的独立分支。进入20世纪后，应用数学快速成长，出现了计算数学、运筹学、控制论、组合数学、博弈论、信息论、数理统计等多个应用数学分支。计算机的出现进一步推动应用数学发展，还产生了很多交叉方向，如计算机数学、人工智能等。生物科学的迅速发展也涌现很多数学问题，现在有生物数学这一交叉分支，它关注的是用数学模型理解生物现象。物理一直是数学发展的强大推动力量。在20世纪，数学物理成为数学的一个重要分支，在过去几十年间非常活跃，成果显著。它主要关注规范场论、量子场论、弦论、统计物理等领域的数学问题。
我们现在非常强调交叉，原因在于不同学科其实是现实不同侧面的反映，只有结合起来，我们才能对现实有更全面的认知。就像“盲人摸象”，每个学科可能只摸到一个局部、一个侧面，把所有的部分合起来，才会形成完整的“象”。在不同分支、不同学科交叉的过程中，数学也在不断产生新的概念、方法、理论等。
如今人类社会正步入人工智能时代，数学在其中起到的作用更是基础性的。计算数学、优化、统计等数学分支发挥突出作用，数论、微分几何等更多数学分支也不可或缺。人工智能也有力促进了数学的发展并提出很多极具挑战的数学问题，其中之一是人工智能的数学基础，如面向大数据的统计学基础、人工智能大模型的数学机理等。
培育和提升大众数学素养
在现代社会，数学素养已经成为公民的基本素养，世界各国都非常重视。数学有助于培养人的逻辑推理能力，因为数学的大厦是通过逻辑支撑的，逻辑把数学不同的内容组织在一起。当然，数学中的逻辑主要是演绎和归纳，是形式逻辑，现实的逻辑要复杂得多，仅有形式逻辑是不够的。
对学习数学而言，尤为重要的是获得数学思维。掌握了数学的思维方式、知道怎么考虑问题等，比单纯获得数学知识要有价值得多。数学直觉是数学思维的重要组成部分。欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思维可以说是数学思维的典型例子，欧拉把陆地抽象成点，桥抽象成线段，从而揭示问题的数学本质，进而解决问题。
培养数学素养，最好还能了解数学的发展史，它能帮助我们深入认识数学。从数学史中我们可以了解到数学的发展历程一点都不枯燥，虽探索艰辛却充满了有趣的故事、生动的人物、引人入胜的例子。比如，数学史上关于数与形的观念变化就很有意思，无理数、负数、虚数都经历了一个漫长曲折的接受过程。
理解数学符号体系的意义也很重要。恰当的符号体系价值巨大，数学发展史上经常出现记号与数学理论进展密不可分的情况。莱布尼茨在微积分中引入的记号就是一个典范。在16世纪以前，几乎没人考虑过在代数领域系统使用符号，致使代数发展缓慢；16世纪法国数学家韦达在这方面作出了突出贡献，此后代数思想才得以更有效地表达。
在数学的发展过程中，很多数学家的哲学观也产生了深远影响。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”“数统治着宇宙”，柏拉图学派认为“纯粹思想的最高形式是数学”，高斯说“数学是科学的皇后”，等等。这些观点对科学文化有巨大影响，很多杰出的科学家，甚至人文学者对数学都有一种敬畏。数学家研究数学时的心理活动和背后的出发点同样很有意思。比如，笛卡尔创立解析几何（即坐标几何）与他的批判精神是分不开的。他说：“我决心离弃仅有抽象的几何，即仅为练习头脑设立问题的几何；这样做，是为了研究另一种几何，旨在自然现象的解释。”
好的科普作品对提高大众的数学素养非常重要。许多国家都重视数学科普，除了专门的科普工作者，还有很多杰出的学者也投身其中，推出形式多样的高质量科普作品，让大众觉得数学有趣、可亲，没那么神秘，可以为普通人所理解。这方面我们还有提升空间。
（作者为中国科学院院士、中国数学会理事长）
推荐读物：
《大哉数学之为用——华罗庚科普著作选集》：华罗庚著；上海教育出版社出版。
《认识数学》：席南华主编；科学出版社出版。
《悠扬的素数》：马库斯·杜·索托伊著，柏华元译；人民邮电出版社出版。
《什么是数学——对思想和方法的基本研究》：R·柯朗、H·罗宾著，I·斯图尔特修订，左平、张饴慈译；复旦大学出版社出版。
《 人民日报 》（ 2024年08月27日 20 版）